Question

已知A、B、C是△ABC的三內角，向量

m

=（-1，

3

），

n

=（cosA，sinA），且

m

•

n

=1，

1+sin2B

cos2B-sin2B

=-3，求cosC．

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算,三角函數中的恒等變換應用

專題：三角函數的求值,平面向量及應用

分析：利用數量積運算和正弦函數的單調性可得A，利用倍角公式、同角三角函數基本關系式、兩角和差的余弦公式即可得出．

解答： 解：由

m

•

n

=1，可得

3

sinA-cosA=1，即2sin(A-

π

6

)=1，
而A∈（0，π），∴(A-

π

6

)∈(-

π

6

，

5π

6

)，
∴A-

π

6

=

π

6

，A=

π

3

，
∵-3=

1+sin2B

cos2B-sin2B

=

(cosB+sinB)2

(cosB+sinB)(cosB-sinB)

=

cosB+sinB

cosB-sinB

=

1+tanB

1-tanB

，
∴tanB=2＞0，
∴B為銳角，∴cosB=

5

5

，sinB=

2 5

5

．
∴cosC=-cos（A+B）=-cosAcosB+sinAsinB=-

1

2

×

5

5

+

3

2

×

2 5

5

=

2 15 - 5

10

．

點評：本題考查了數量積運算、正弦函數的單調性、倍角公式、同角三角函數基本關系式、兩角和差的余弦公式、三角形的內角和定理等基礎知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，屬于中檔題．