Question

設F₁、F₂分別是橢圓，（a＞b＞0）的左、右焦點，P是該橢圓上一個動點，且|PF₁|+|PF₂|=8，．
（1）求橢圓E的方程；
（2）求出以點M（1，1）為中點的弦所在的直線方程．

Answer 1

解：（1）∵橢圓上一個動點P滿足|PF₁|+|PF₂|=8，
∴2a=8，可得a=4
又∵焦距2c=，∴c=2，可得b²=a²-c²=4
因此，橢圓E的方程是：；
（2）根據(jù)題意，以M（1，1）為中點的弦所在直線的斜率是存在的
設以點M（1，1）為中點的弦方程為y-1=k（x-1），與橢圓聯(lián)解消去y，
得（1+4k²）x²+8k（1-k）x+4k²-8k-12=0，
設弦的端點坐標為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由根與系數(shù)的關系，得x₁+x₂=
∵M（1，1）為弦AB的中點，
∴（x₁+x₂）=1，可得=2，解之得k=-
因此，以點M（1，1）為中點的弦所在的直線方程為y-1=-（x-1），
化簡整理得x+4y-5=0，即為所求直線方程．
分析：（1）根據(jù)橢圓的定義，可得2a=|PF₁|+|PF₂|=8，從而得到a=4．再根據(jù)焦距得到c=，利用平方關系算出b²的值，即可得到橢圓E的方程；
（2）設以點M（1，1）為中點的弦方程為y-1=k（x-1），與橢圓E方程消去y，得（1+4k²）x²+8k（1-k）x+4k²-8k-12=0，
再由一元二次方程根與系數(shù)的關系列式，即可解出斜率k=-，進而可以得到以點M（1，1）為中點的弦所在的直線方程．
點評：本題給出橢圓E的特征，求橢圓E方程并求以M為中點的弦所在直線方程，著重考查了橢圓的標準方程與簡單幾何性質(zhì)、橢圓與直線的位置關系等知識，屬于基礎題．