Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，Q是PA上一點(diǎn)，且PA=4PQ=4，四邊形ABCD為直角梯形，∠CDA=∠BAD=90°，AB=2，CD=1，AD=

2

，M，N分別為PD，PB的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：MQ∥平面PCB；
（Ⅱ）求二面角M-CN-P的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）以A為原點(diǎn)，射線AD、AB、AP分別為x軸，y軸和z軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示點(diǎn)，進(jìn)一步可表示向量

BC

=(

2

，-1，0)，

PB

=(0，2，-4)，

MQ

=(-

2

2

，0，1)，求出平面PBC的法向量

m

= (

2

，2，1)，可得

MQ

•

m

= 0，從而可證MQ∥平面PCB；
（Ⅱ）求出平面MCN的法向量為

n

= (

2

，1，1)，平面PNC的法向量為

m

= (

2

，2，1)，利用cos＜

n

，

m

＞=

n • m

| n || m |

，可取二面角M-CN-P的余弦值．

解答：（Ⅰ）證明：以A為原點(diǎn)，射線AD、AB、AP分別為x軸，y軸和z軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則B（0，2，0），C（

2

，1，0），D（

2

，0，0），P（0，0，4），Q（0，0，3），M（

2

2

，0，2），N（0，1，2）
∴

BC

=(

2

，-1，0)，

PB

=(0，2，-4)，

MQ

=(-

2

2

，0，1)
設(shè)平面PBC的法向量

m

= (x，y，z)，則

m • BC =0 m • PB =0

，
∴

2 x-y=0 y-2z=0

，可取

m

= (

2

，2，1)
∴

MQ

•

m

= 0
∵M(jìn)Q?平面pPCB
∴MQ∥平面PCB；
（Ⅱ）解：設(shè)平面MCN的法向量為

n

= (x′，y′，z′)
∵

CM

=(-

2

2

，-1，2) ，

CN

=(-

2

，0，2)
∴

n • CM =0 n • CN =0

，∴

- 2 2 x′-y′+2z′=0 - 2 x′+2z′=0

，可取

n

= (

2

，1，1)
又平面PNC的法向量為

m

= (

2

，2，1)
∴cos＜

n

，

m

＞=

n • m

| n || m |

=

5 7

14

∴二面角M-CN-P的余弦值為

5 7

14

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查線面平行，考查面面角，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的方法解決立體幾何問(wèn)題，屬于中檔題．