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已知直線(xiàn)y=kx+1與雙曲線(xiàn)3x2-y2=1有A、B兩個(gè)不同的交點(diǎn)，（1）如果以AB為直徑的圓恰好過(guò)原點(diǎn)，試求k的值；（2）是否存在k的值，使得兩個(gè)不同的交點(diǎn)A、B關(guān)于直線(xiàn)y=2x對(duì)稱(chēng).

思路解析：（1）要求k的值，必須建立關(guān)于k的方程，由已知OA⊥OB，所以kOA·kOB=-1，及A、B既在直線(xiàn)上，又在雙曲線(xiàn)上可得k的值.（2）為開(kāi)放性題目，一般方法為：假設(shè)存在，根據(jù)已知求解，若解出而且符合題意則存在，若無(wú)解或解出不符合題意，則不存在.

解：（1）設(shè)A（x1,kx1+1）,B(x2,kx2+1)，則以AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)的充要條件是（）·（）=-1,

即(k2+1)x1x2+k(x1+x2)+1=0.                                                     ①

由方程組消去y,得（3-k2）x2-2kx-2=0.                   ②

∴x1+x2=,x1x2=，代入①得++1=0,

解得k2=1,∴k=1或k=-1,當(dāng)k=1時(shí)，方程②為2x2-2x-2=0,有兩個(gè)不等實(shí)根；當(dāng)k=-1時(shí)，方程②為x2+x-1=0,有兩個(gè)不等實(shí)根,故k=±1時(shí)，以AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn).

（2）若A（x1，kx1+1）,B(x2,kx2+1)關(guān)于y=2x對(duì)稱(chēng)，

則

④整理得(k-2)(x1+x2)+2=0.

∵x1+x2=,∴+2=0,解得k=.

這個(gè)結(jié)果與③矛盾，故不存在k的值，使A、B兩點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)y=2x對(duì)稱(chēng).


練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（理）已知直線(xiàn)y=kx+1（k∈R）與橢圓
x2
2
+
y2
m
=1總有交點(diǎn)，則m的取值范圍為（　　）
A、（1，2]
B、[1，2）
C、[1，2）∪[2，+∞）
D、（2，+∞）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知直線(xiàn)y=kx+1（k∈R）與焦點(diǎn)在x軸上的橢圓
x2
5
+
y2
t
=1恒有公共點(diǎn)，求t的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知直線(xiàn)y=kx-1與雙曲線(xiàn)x2-y2=1的左支交于不同兩點(diǎn)A、B，若另有一條直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)P（-2，0）及線(xiàn)段AB的中點(diǎn)Q．
（1）求k的取值范圍；
（2）求直線(xiàn)l在y軸上的截距b的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•東城區(qū)二模）已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率e=
3
2
，原點(diǎn)到過(guò)A（a，0），B（0，-b）兩點(diǎn)的直線(xiàn)的距離是
4
5
5
．
（1）求橢圓的方程；
（2）已知直線(xiàn)y=kx+1（k≠0）交橢圓于不同的兩點(diǎn)E，F(xiàn)，且E，F(xiàn)都在以B為圓心的圓上，求k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知直線(xiàn)y=kx-1與雙曲線(xiàn)x2-y2=4沒(méi)有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為
 
．

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