Question

13．求證：（${C}_{n}^{0}$）²+（${C}_{n}^{1}$）²+…+（${C}_{n}^{n}$）²=${C}_{2n}^{n}$．

Answer 1

分析 由（1+x）ⁿ（1+x）ⁿ=（1+x）²ⁿ，通過二項式定理，兩邊展開得，再根據(jù)組合數(shù)公式的性質(zhì)，化簡即可．

解答 證明：由（1+x）ⁿ（1+x）ⁿ=（1+x）²ⁿ，兩邊展開得：
（C_n⁰+C_n¹x+C_n²x²+…+C_n^m-1x^n-1+C_nⁿxⁿ）•（C_n⁰+C_n¹x+C_n²x²+…+C_n^n-1x^n-1+C_nⁿxⁿ）=C_2n⁰+C_2n¹x+C_2n¹x²+…+C_2n²ⁿx²ⁿ
比較等式兩邊xⁿ的系數(shù)，它們應(yīng)當(dāng)相等，所以有：
C_n^0•C_nⁿ+C_n¹•C_n^n-1+C_n²•C_n^n-2+…+C_nⁿ•C_n⁰=C_2nⁿ
由C_n^r=C_n^n-r，
得（C_n⁰）²+（C_n¹）²+（C_n²）²+…+（C_nⁿ）²=C_2nⁿ．

點評 本題考查了組合及組合數(shù)公式，以及二項式展開定理，屬于基礎(chǔ)題．