Question

設(shè)0＜θ＜2π,復(fù)數(shù)z=1-cosθ+isinθ,u=a²+ai,且zu是純虛數(shù),a是實(shí)數(shù),記ω=z²+u²+2zu,試問ω可能是正數(shù)嗎?為什么?

Answer 1

解：假設(shè)ω是正實(shí)數(shù),那么有ω=z²+u²+2uz=(z+u)²＞0.

    而z+u=(1-cosθ+a²)+(a+sinθ)i,

∴(z+u)∈R.

    因而a+sinθ=0,

    即a=-sinθ.                                     (1)

    又zu=(1-cosθ+isinθ)(a²+ai)=a²(1-cosθ)-asinθ+[a²sinθ+a(1-cosθ)]i是純虛數(shù),

∴

    將 (1)代入 (3)得sin³θ-sinθ+sinθcosθ≠0,

    即sinθ(sin²θ-1+cosθ)≠0,

∴sinθ≠0.

    將 (1)代入 (2)得sin²θ(1-cosθ)+sin²θ=0,

    即sin²θ(2-cosθ)=0.

∵sinθ≠0,

∴cosθ=2矛盾.

    這是不可能的,故假設(shè)不成立,∴ω不可能是正數(shù).