Question

18．某銀行招聘，設(shè)置了A、B、C三組測試題供競聘人員選擇．現(xiàn)有五人參加招聘，經(jīng)抽簽決定甲、乙兩人各自獨立參加A組測試，丙獨自參加B組測試，丁、戊兩人各自獨立參加C組測試．若甲、乙兩人各自通過A組測試的概率均為$\frac{2}{3}$；丙通過B組測試的概率為$\frac{1}{2}$；而C組共設(shè)6道測試題，每個人必須且只能從中任選4題作答，至少答對3題者就競聘成功．假設(shè)丁、戊都只能答對這6道測試題中4道題．
（Ⅰ）求丁、戊都競聘成功的概率．
（Ⅱ）記A、B兩組通過測試的總?cè)藬?shù)為ξ，求ξ的分布列和期望．

Answer 1

分析 （I） 設(shè)丁競聘成功為M事件，戊競聘成功為N事件，則事件的總數(shù)，而事件M競聘成功分為兩種情況：一種是戊會其中4題都選上，另一種是選上會其中4題的其中3道題和另一道題，再利用概率計算公式即可得出．
（Ⅱ）ξ可取0，1，2，3．ξ=0表示甲乙丙三人都沒有通過；ξ=1表示三人中只有一人通過；ξ=3表示由3人都通過，利用分類討論和獨立事件的概率計算公式及其互斥事件的概率計算公式及其對立事件的概率，列出分布列，求出期望．

解答 解：（I） 設(shè)“丁競聘成功”為M事件，戊競聘成功為N事件，而事件M競聘成功分為兩種情況：一種是戊會其中4題都選上，另一種是選上會其中4題的其中3道題和另一道題，基本事件的總數(shù)為${C}_{6}^{4}$．
∴P（M）=$\frac{{C}_{4}^{4}+{C}_{4}^{3}{C}_{2}^{1}}{{C}_{6}^{4}}$=$\frac{3}{5}$．P（N）=$\frac{{C}_{4}^{4}+{C}_{4}^{3}{C}_{2}^{1}}{{C}_{6}^{4}}$=$\frac{3}{5}$．
丁、戊都競聘成功的概率：P（MN）=P（M）P（N）=$\frac{3}{5}×\frac{3}{5}$=$\frac{9}{25}$．
（Ⅱ）ξ可取0，1，2，3．可得P（ξ=0）=（1-$\frac{2}{3}$）2（1-$\frac{1}{2}$）2=$\frac{1}{18}$，P（ξ=1）=$\frac{1}{3}×\frac{2}{3}×\frac{1}{2}+\frac{1}{3}×\frac{2}{3}×\frac{1}{2}+\frac{1}{3}×\frac{1}{3}×\frac{1}{2}$=$\frac{5}{18}$，P（ξ=2）=$\frac{2}{3}×\frac{2}{3}×\frac{1}{2}+\frac{1}{3}×\frac{2}{3}×\frac{1}{2}+\frac{2}{3}×\frac{1}{3}×\frac{1}{2}$=$\frac{4}{9}$，P（ξ=3）=$\frac{2}{3}×\frac{2}{3}×\frac{1}{2}$=$\frac{2}{9}$．
列表如下：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{1}{18}$	$\frac{5}{18}$	$\frac{4}{9}$	$\frac{2}{9}$

∴Eξ=0×$\frac{1}{18}$+1×$\frac{5}{18}$+2×$\frac{4}{9}$+3×$\frac{2}{9}$=$\frac{11}{6}$．

點評 本題中考查了超幾何分布、互斥事件的概率計算公式、隨機變量的分布列及其數(shù)學(xué)期望、分類討論等基礎(chǔ)知識與基本方法，屬于中檔題．