Question

13．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（m-3）x+4m，x≥0}\\{{m}^{x}，x＜0}\end{array}$，若對任意實(shí)數(shù)a≠b都有$\frac{f（a）-f（b）}{a-b}$＜0，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　　）

• A． 0＜m＜1
• B． 0＜m≤$\frac{1}{4}$
• C． $\frac{1}{4}$≤m＜1
• D． m＜3

Answer 1

分析 通過對任意實(shí)數(shù)a≠b都有$\frac{f（a）-f（b）}{a-b}$＜0可知函數(shù)f（x）在定義域上為減函數(shù)，利用每段均為遞減函數(shù)，且左端函數(shù)的最小值不小于右端函數(shù)的最大值，計(jì)算即可．

解答 解：∵對任意實(shí)數(shù)a≠b都有$\frac{f（a）-f（b）}{a-b}$＜0，
∴函數(shù)f（x）在定義域上為減函數(shù)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m-3＜0}\\{0＜m＜1}\\{4m≤1}\end{array}\right.$，解得：0＜m≤$\frac{1}{4}$，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，注意解題方法的積累，屬于中檔題．