Question

如圖，ABCD是直角梯形，∠ABC=90°，SA⊥面ABCD，SA=AB=BC=1，,

(1)求面SCD與面SBA所成的二面角的正切值；

(2)求SC與平面ABCD所成的角的余弦值.

Answer 1

解：(1)因?yàn)?I >AD、AB、AS是三條兩兩互相垂直的線(xiàn)段，故以A為原點(diǎn)，以、、的方向?yàn)?I >x軸、y軸、z軸的正方向建立坐標(biāo)系，則A(0,0,0)、D(,0,0)、C(1,1,0)、S(0,0,1), =(,0,0)是平面SAB的法向量.設(shè)面SCD的法向量n=(1，λ，μ),則

n=(1，λ，μ)(,1,0)=+λ=0,∴λ=-.

n=(1,λ,μ)(-,0,1)=-+μ=0,

∴.

∴n=(1,-,).

如以θ表示欲求二面角的值，則cosθ=cos〈,n〉,

n=(,0,0)(1,-,)=,||=,

,

∴,.

∴.

∴面SCD與面SBA所成二面角的正切值為.

(2)∵是平面ABCD的法向量，先求與之間的夾角φ.

∵,

∴,

,

,

∴.

∴所求余弦值為.

啟示：對(duì)于(2)也可借助坐標(biāo)計(jì)算線(xiàn)面角.像棱沒(méi)有給出的二面角大小計(jì)算問(wèn)題，用向量法解答十分方便.