Question

已知函數(shù)f(x)的定義域為［0,1］,且同時滿足:①f(1)=3;②f(x)≥2對一切x∈［0,1］恒成立;③若x₁≥0,x₂≥0,x₁+x₂≤1,則f(x₁+x₂)≥f(x₁)+f(x₂)-2.

(1)求函數(shù)f(x)的最大值和最小值;

(2)試比較f()與+2的大小;

(3)某同學發(fā)現(xiàn):當x=(n∈N)時,有f(x)＜2x+2,由此他提出猜想:對一切x∈(0,1］,都有f(x)＜2x+2,請你判斷此猜想是否正確,并說明理由.

Answer 1

解：(1)設x₁,x₂∈［0,1］,x₁＜x₂,則x₂-x₁∈［0,1］.

∴f(x₂)=f［(x₂-x₁)+x₁］≥f(x₂-x₁)+f(x₁)-2.

∴f(x₂)-f(x₁)≥f(x₂-x₁)-2≥0.

∴f(x₁)≤f(x₂).

則當0≤x≤1時,f(0)≤f(x)≤f(1).

在③中,令x₁=x₂=0,得f(0)≤2,

由②得f(0)≥2,∴f(0)=2.

∴當x=0時,f(x)取得最小值為2;

當x=1時,f(x)取得最大值為3.

(2)在③中,令x₁=x₂=,得f()≥2f()-2,

∴f()-2≤［f()-2］≤［f()-2］≤…≤［f()-2］=,

即f()≤+2.

(3)對x∈［0,1］,總存在n∈N,滿足＜x≤.

由(1)與(2),得f(x)≤f()≤+2,

又2x+2＞2·+2=+2,

∴f(x)＜2x+2.

綜上所述,對任意x∈［0,1］,f(x)＜2x+2恒成立.