Question

如圖，已知△AOB，∠AOB=，∠BAO=，AB=4，D為線段AB的中點(diǎn)，若△AOC是△AOB 繞直線AO旋轉(zhuǎn)而成的，記二面角B-AO-C的大小為θ。

（1）當(dāng)平面COD⊥平面AOB時(shí)，求θ的值；
（2）當(dāng)時(shí)，求二面角C-OD-B的余弦值的取值范圍。

Answer 1

解：（1）在平面AOB內(nèi)過(guò)B作OD的垂線，垂足為E，如圖 因?yàn)槠矫鍭OB⊥平面COD，平面AOB∩平面COD=OD， 所以BE⊥平面COD， 故BE⊥CO 又因?yàn)镺C⊥AO， 所以O(shè)C⊥平面AOB， 故OC⊥OB 又因?yàn)镺B⊥OA，OC⊥OA， 所以二面角B-AO-C的平面角為∠COB， 故。 （2）當(dāng)時(shí)，二面角C-OD-B的余弦值為0； 當(dāng)時(shí)，過(guò)C作OB的垂線，垂足為F， 過(guò)F作OD的垂線，垂足為G，連接CG， 則∠CGF的補(bǔ)角為二面角C-OD-B的平面角， 在Rt△OCF中，CF=2sinθ，OF=-2cosθ， 在Rt△CGF中， 所以 因?yàn)?IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" border=0 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20111104/201111041557452341060.gif">， 故 所以二面角C-OD-B的余弦值的取值范圍為。