Question

13．已知{a_n}是等比數(shù)列，a₂=1，a₅=$\frac{1}{8}$，設(shè)S_n=a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1（n∈N^*），λ為實(shí)數(shù)．若對(duì)?n∈N^*都有λ＞S_n成立，則λ的取值范圍是[$\frac{8}{3}$，+∞）．

Answer 1

分析 利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式列出方程組，求出${a}_{1}=2，q=\frac{1}{2}$，從而得到${a}_{n}{a}_{n+1}=（\frac{1}{2}）^{n-2}（\frac{1}{2}）^{n-1}=（\frac{1}{2}）^{2n-3}$，再利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式求出S_n=a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1=$\frac{8}{3}[1-（\frac{1}{4}）^{n}]$＜$\frac{8}{3}$，由此能求出λ的取值范圍．

解答 解：∵{a_n}是等比數(shù)列，a₂=1，a₅=$\frac{1}{8}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}q=1}\\{{a}_{1}{q}^{4}=\frac{1}{8}}\end{array}\right.$，解得${a}_{1}=2，q=\frac{1}{2}$，
∴${a}_{n}=2×（\frac{1}{2}）^{n-1}$=（$\frac{1}{2}$）^n-2，
∴${a}_{n}{a}_{n+1}=（\frac{1}{2}）^{n-2}（\frac{1}{2}）^{n-1}=（\frac{1}{2}）^{2n-3}$，
∴S_n=a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1（n∈N^*）
=（$\frac{1}{2}$）^-1+（$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$）³+…+（$\frac{1}{2}$）^2n-3
=$\frac{2[1-（\frac{1}{4}）^{n}]}{1-\frac{1}{4}}$=$\frac{8}{3}[1-（\frac{1}{4}）^{n}]$＜$\frac{8}{3}$，
∵對(duì)?n∈N^*都有λ＞S_n成立，
∴$λ≥\frac{8}{3}$，即λ的取值范圍是[$\frac{8}{3}$，+∞）．
故答案為：[$\frac{8}{3}$，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式、不等式性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，是基礎(chǔ)題．