Question

（2012•洛陽模擬）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，2bcosB=acosC+ccosA，且b²=3ac，則角A的大小為

π

12

或

7π

12

．

Answer 1

分析：由條件利用正弦定理、誘導(dǎo)公式可得sin2B=sin（A+C），得B=60°，A+C=120°．又b²=3ac，即sin²B=3sinAsinC，利用積化和差公式求得cos（A-C）=0，得A-C=±90°，
由此可得A的大�。�

解答：解：△ABC中，∵2bcosB=acosC+c•cosA，由正弦定理可得 2sinBcosB=sinAcosC+sinC•cosA，∴sin2B=sin（A+C）．
得2B=A+C （如果2B=180°-（A+C），結(jié)合A+B+C=180°易得B=0°，不合題意）．
A+B+C=180°=3B，得B=60°，A+C=120°．
又b²=3ac，故 sin²B=3sinAsinC，∴

3

4

=3sinAsinC=3×

1

2

[cos（A-C）-cos（A+C）]=

3

2

（cos（A-C）+

1

2

），
解得 cos（A-C）=0，故A-C=±90°，結(jié)合A+C=120°，易得 A=

π

12

，或A=

7π

12

．
故答案為A=

π

12

，或A=

7π

12

點評：本題主要考查正弦定理、誘導(dǎo)公式、積化和差公式的應(yīng)用，已知三角函數(shù)值求角的大小，屬于中檔題．