Question

如圖F₁，F(xiàn)₂為雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點，圓O：x²+y²=a²-b²，過原點的直線與雙曲線C交于點P，與圓O交于點M、N，且|PF₁|•|PF₂|=15，則|PM|•|PN|=（　　）

• A、5
• B、30
• C、225
• D、15

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質

專題：直線與圓,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：設P（m，n），代入雙曲線的方程，設雙曲線的離心率為e，由雙曲線的第二定義可得，|PF₁|=em+a，|PF₂|=em-a，運用平方差公式以及圓的半徑，化簡整理，結合離心率公式和a，b，c的關系，計算即可得到所求值．

解答： 解：設P（m，n），則

m2

a2

-

n2

b2

=1，即有n²=b²（

m2

a2

-1），
設雙曲線的離心率為e，由雙曲線的第二定義可得，
|PF₁|=em+a，|PF₂|=em-a，
|PF₁|•|PF₂|=15，即為（em+a）（em-a）=15，
m²=

15+a2

e2

，
則|PM|•|PN|=（

m2+n2

-

a2-b2

）（

m2+n2

+

a2-b2

）
=（m²+n²）-（a²-b²）=

15+a2

e2

+b²•

1

a2

•

15+a2

e2

-b²-a²+b²
=

(a2+b2)

a2• c2 a2

（15+a²）-a²=15．
故選：D．

點評：本題考查雙曲線的定義、方程和性質，主要考查雙曲線的第二定義的運用和離心率公式，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．