Question

已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，兩個焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在橢圓 上，過點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，拋物線在點(diǎn)處的切線分別為，且與交于點(diǎn).

(1) 求橢圓的方程；

(2) 是否存在滿足的點(diǎn)? 若存在，指出這樣的點(diǎn)有幾個（不必求出點(diǎn)的坐標(biāo)）; 若不存在，說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）. (2)滿足條件的點(diǎn)有兩個.

【解析】

(1)試題分析：解法1：設(shè)橢圓的方程為,依題意:    

解得:         ∴ 橢圓的方程為.

解法2：設(shè)橢圓的方程為，根據(jù)橢圓的定義得，即， ∵，  ∴.   ∴ 橢圓的方程為.  

(2) 解法1：顯然直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，

由消去，得.  

設(shè),則.  

由,即得.  

∴拋物線在點(diǎn)處的切線的方程為，即.

∵， ∴.  

同理,得拋物線在點(diǎn)處的切線的方程為.  

由解得 

∴.  ∵,

∴點(diǎn)在橢圓上.  ∴.

化簡得.(*) 由, 

可得方程(*)有兩個不等的實(shí)數(shù)根. ∴滿足條件的點(diǎn)有兩個.    

解法2：設(shè)點(diǎn),，，由,即得.

∴拋物線在點(diǎn)處的切線的方程為，

即.∵， ∴ .

∵點(diǎn)在切線上,  ∴.       ①        

同理， . ② 綜合①、②得，點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程.∵經(jīng)過的直線是唯一的，∴直線的方程為，

∵點(diǎn)在直線上，     ∴.    ∴點(diǎn)的軌跡方程為.

若 ，則點(diǎn)在橢圓上，又在直線上，∵直線經(jīng)過橢圓內(nèi)一點(diǎn),∴直線與橢圓交于兩點(diǎn). 

∴滿足條件 的點(diǎn)有兩個.              

解法3：設(shè)點(diǎn),，則，，

∵三點(diǎn)共線, .

化簡得：. ① 由,即得.  

∴拋物線在點(diǎn)處的切線的方程為，即. ②

同理，拋物線在點(diǎn)處的切線的方程為 .    ③   

設(shè)點(diǎn)，由②③得：，而，則 .  

代入②得 ， 則，代入 ① 得 ，

即點(diǎn)的軌跡方程為.若 ，則點(diǎn)在橢圓上，而點(diǎn)又在直線上，∵直線經(jīng)過橢圓內(nèi)一點(diǎn),

∴直線與橢圓交于兩點(diǎn). ∴滿足條件 的點(diǎn)有兩個.

考點(diǎn)：本題考查了圓錐曲線的方程及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系

點(diǎn)評：解答此類問題時注意若直線與圓錐曲線有兩個交點(diǎn)，對待交點(diǎn)坐標(biāo)是“設(shè)而不求”的原則，要注意應(yīng)用韋達(dá)定理處理這類問題