Question

11．已知四棱錐S-ABCD的底面為平行四邊形，且SD⊥面ABCD，AB=2AD=2SD，∠DCB=60°，M，N分別為SB，SC中點(diǎn)，過(guò)MN作平面MNPQ分別與線段CD，AB相交于點(diǎn)P，Q．
（Ⅰ）在圖中作出平面MNPQ，使面MNPQ‖面SAD（不要求證明）；
（Ⅱ）若$\overrightarrow{AQ}=λ\overrightarrow{AB}$，是否存在實(shí)數(shù)λ，使二面角M-PQ-B的平面角大小為60°？若存在，求出的λ值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）Q是AB的中點(diǎn)畫圖即可．
（Ⅱ）證明AD⊥BD，以D為原點(diǎn)，直線DA為x軸，直線DB為y軸，直線DS為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求解平面的法向量，面ABCD的法向量，利用二面角M-PQ-B為60°，求出λ即可．

解答 解：（Ⅰ）如圖，Q是AB的中點(diǎn)（若NP．PQ未作成虛線，扣兩分）…（4分）

（Ⅱ）在平行四邊形ABCD中，設(shè)AB=2AD=4，∠DCB=60°，所以由余弦定理求得$BD=2\sqrt{3}$，有AB²=AD²+BD²，所以AD⊥BD，…．（5分）
以D為原點(diǎn)，直線DA為x軸，直線DB為y軸，直線DS為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
且$A（{2，0，0}），B（{0，2\sqrt{3}，0}），S（{0，0，2}），M（{0，\sqrt{3}，1}）$，

又$\overrightarrow{AQ}=λ\overrightarrow{AB}$，設(shè)Q（x，y，z），則$（{x-2，y，z}）=λ（{-2，2\sqrt{3}，0}）$
即$Q（{2-2λ，2\sqrt{3}λ，0}）$…（7分）
設(shè)平面的法向量為$\overrightarrow n=（{x，y，z}）$
由$\left\{{\begin{array}{l}{\overrightarrow n•\overrightarrow{AD}=0}\\{\overrightarrow n•\overrightarrow{MQ}=0}\end{array}}\right.$得$\overrightarrow n=（{0，1，\sqrt{3}（{2λ-1}）}）$，…（9分）
易知面ABCD的法向量為$\overrightarrow m=（{0，0，1}）$
要使二面角M-PQ-B為60°，則有$cos{60°}=\frac{1}{2}=\frac{{|{\overrightarrow m\overrightarrow{•n}}|}}{{|{\overrightarrow m}||{\overrightarrow n}|}}=\frac{{|{\sqrt{3}（{2λ-1}）}|}}{{\sqrt{1+3{{（{2λ-1}）}^2}}}}$解得$λ=\frac{1}{3}或λ=\frac{2}{3}$…．（11分）
由圖可知，要使二面角M-PQ-B為60°，則$λ=\frac{1}{3}$…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面與平面平行的判斷，二面角的平面角的求法與應(yīng)用，考查計(jì)算能力以及轉(zhuǎn)化思想．