Question

17. 已知正四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁，AB＝1，AA₁＝2，點E為CC₁中點，點F為BD₁中點.

（1）證明EF為BD₁與CC₁的公垂線；

（2）求點D₁到面BDE的距離.

Answer 1

17.

　　（Ⅰ）證明：取BD中點M，連結(jié)MC、FM，

　　∵F為BD₁中點，

∴FM∥D₁D且FM＝D₁D.

又EC＝CC₁且EC⊥MC，

∴四邊形EFMC是矩形，

∴EF⊥CC₁.

又CM⊥面DBD₁，

∴EF⊥面DBD₁，

∵BD₁面DBD₁，

∴EF⊥BD₁.

故EF為BD₁與CC₁的公垂線.

 

（Ⅱ）解：連結(jié)ED₁，有

由（Ⅰ）知EF⊥面DBD₁，

設(shè)點D₁到面BDE的距離為d，

則S_△DBE·d=·EF.

∵AA₁=2，AB=1，

∴BD=BE=ED=，EF=.

∴=··2=，

S_△DBE=··（）²=.

∴d==.

故點D₁到平面BDE的距離為.