Question

 

 

Answer 1

【答案】

 

（1）a＞0，x＞0時，f（x）＞－x

（2）f (x) 的單調(diào)遞增區(qū)間為（，+∞）

（3）證明略

【解析】（1）設(shè)g (x) = f (x) + x，則g′ (x) = f ′(x) + 1 =．

∵ a＞0，x＞0，∴ g′ (x) =＞0，

于是 g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，

∴ g（x）＞g（0）= f (0) + 0 = 0，f (x) + x＞0在x＞0時成立，

即a＞0，x＞0時，f（x）＞－x．   …………………… 4分

（2）∵ f (x) = ax－（a + 1）ln（x + 1），∴ f ′(x) =．

① a = 0時，f ′(x) =, ∴ f (x) 在（－1，+∞）上單調(diào)遞減, 無單調(diào)增區(qū)間．

② a＞0時，由 f ′(x)＞0得，∴ 單增區(qū)間為（，+∞）．

③ a＜0時，由 f ′(x)＞0得．

而 x＞－1，∴ 當(dāng)，即－1≤a＜0時，無單增區(qū)間；

當(dāng)，即a＜－1時，－1＜x＜，單增區(qū)間為（－1，）．

綜上所述：當(dāng)a＜－1時，f (x) 的單調(diào)遞增區(qū)間為（－1，）；當(dāng)－1≤a≤0時，

f (x) 無單調(diào)遞增區(qū)間；a＞0時，f (x) 的單調(diào)遞增區(qū)間為（，+∞）．…………… 8分

（3）證明：1）當(dāng)n = 2時，左邊－右邊=，

∴ 左邊＜右邊，不等式成立．     …………………… 9分

2）假設(shè)n = k時，不等式成立，即 成立，

那么當(dāng)n = k + 1時，

=．… 11分

下面證明：．

思路1   利用第（1）問的結(jié)論，得 ax－ln（x + 1）a+1＞－x，

所以（a + 1）ln（x + 1）＜（a + 1）x，即 ln（x + 1）＜x，

因而 0＜ln（k + 1）＜k，所以．

以上表明，當(dāng)n = k + 1時，不等式成立．

根據(jù)1）和2），可知，原不等式對任意正整數(shù) n都成立．…………………… 14分

思路2   構(gòu)造函數(shù)h (x) = ln x－x2（x≥3），則，

∴ h (x) 在 [ 3，+∞上是減函數(shù)，則 h (x)max = h (3) = ln 3－＜ln e2－＜0，

∴ 當(dāng)x≥3時，ln x＜x2，即 ．

∵ k + 1∈[ 3，+∞，∴ ．