Question

【題目】設(shè),函數(shù).

（1）證明在上僅有一個(gè)零點(diǎn)；

（2）若曲線在點(diǎn)處的切線與軸平行,且在點(diǎn)處的切線與直線平行,(O是坐標(biāo)原點(diǎn)),證明:

Answer 1

【答案】（1） 在 上有且只有一個(gè)零點(diǎn) （2）證明見解析

【解析】試題分析：

（1）證明函數(shù)單調(diào)，再應(yīng)用零點(diǎn)存在性定理證明只有一個(gè)零點(diǎn)；（2）利用處的切線與軸平行，解得，再利用處的切線與直線平行，解得，觀察證明結(jié)論，可知，所以令，通過求導(dǎo)最后解得，則，得證。

試題解析：

（1）， ，

在上為增函數(shù)．

， ，

又，

，即，

由零點(diǎn)存在性定理可知， 在上為增函數(shù)，且，

在上僅有一個(gè)零點(diǎn)。

（2），設(shè)點(diǎn)，則，

在點(diǎn)處的切線與軸平行， ， ，

， ，

點(diǎn)處切線與直線平行，

點(diǎn)處切線的斜率，

又題目需證明，即，

則只需證明，即。

令，則，

易知，當(dāng)時(shí)， ，單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)， ，單調(diào)遞增，

，即，

，

，得證。