Question

已知P為拋物線y=x²上的動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)A（a，0）關(guān)于P點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是Q，
（1）求點(diǎn)Q的軌跡方程；
（2）若（1）中的軌跡與拋物線y=x²交于B、C兩點(diǎn)，當(dāng)AB⊥AC時(shí)，求a的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)出P，Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)定點(diǎn)A（a，0）關(guān)于P點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是Q，寫(xiě)出中點(diǎn)的坐標(biāo)公式，用a，x表示x，y，根據(jù)這是曲線上的一點(diǎn)，代入曲線的方程，得到要求的點(diǎn)的軌跡．
（2）兩個(gè)曲線相交的問(wèn)題，需要把兩個(gè)曲線的方程聯(lián)立，得到關(guān)于x的方程，根據(jù)有兩個(gè)交點(diǎn)，得到方程有兩個(gè)實(shí)根，根據(jù)判別式和根與系數(shù)的關(guān)系，再根據(jù)垂直的關(guān)系得到結(jié)果．
解答：解：（1）設(shè)Q（x，y）、P（x，y）
，
∴，
∴
（2）由消去y得x²-2ax-a²=0
又因?yàn)閮汕�線相交于B、C兩點(diǎn)，
∴△=4a²-4（-a²）=8a²＞0，∴a≠0
設(shè)B（x₁，y₁）、C（x₂，y₂）

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓錐曲線的綜合問(wèn)題，本題解題的關(guān)鍵是先求出滿(mǎn)足條件的軌跡，在利用方程聯(lián)立，在聯(lián)立方程時(shí)注意判斷式與根與系數(shù)的關(guān)系的作用．