Question

如圖，平面四邊形ABCD中，AB=BC=CD=a，∠B=90°，∠C=135°，沿對(duì)角線AC將△ABC折起，使平面ABC與平面ACD互相垂直．
（1）求證：AB⊥平面BCD；
（2）求點(diǎn)C到平面ABD的距離；
（3）在BD上是否存在一點(diǎn)P，使CP⊥平面ABD，證明你的結(jié)論．

Answer 1

（1）取AC的中點(diǎn)M，因?yàn)锳B=AC，所以BM⊥AC
∵平面ABC⊥平面ACD，∴BM⊥平面ACD，∴BM⊥CD
∵AB=BC=CD=a，∠B=

π

2

∴∠BAC=∠BCA=

π

4

∵∠ACD=

3π

4

，∴∠ACD=

π

2

，即AC⊥CD
∵AC∩BM=M∴CD⊥平面ABC∴CD⊥AB
∵AB⊥BC且BC∩CD=C
AB⊥平面BCD
（2）由（1）知BA為B到平面ACD的距離，且BM=

2

2

a
設(shè)點(diǎn)C到平面ABD的距離h
由已知可得AC=

2

a，∠ACD=

π

2

，由（1）可得∠AMD=

π

2

，從而可得AD=

AM2+ DM2

=

2

a
根據(jù)等體積可得

1

3

×

1

2

×BM×SACD=

1

3

×

1

2

×SABD×h
∴

2 a

2

×

2

a×a=a×

2

a×h
h=

2

2

a
點(diǎn)C到平面ABD的距離

2

2

a
（3）假設(shè)存在滿足條件的P，使得CP⊥平面ABD
則CP⊥BD①，∵BC=CD=a∴P為DB的中點(diǎn)
而此時(shí)CP=

2 a

2

，AP=

6 a

2

，AC=

2

a，則AC²=AP²+CP²
∴AP⊥CP②由①②根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可得此時(shí)的P滿足條件，
故存在P為BD的中點(diǎn)