Question

4．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△ABC的周長為12，AB，AC邊的中點(diǎn)分別為F₁（-1，0）和F₂（1，0），點(diǎn)M為BC邊的中點(diǎn)．
（1）求點(diǎn)M的軌跡方程；
（2）設(shè)點(diǎn)M的軌跡為曲線T，直線MF₁與曲線T另一個(gè)交點(diǎn)為N，線段MF₂中點(diǎn)為E，記S=S${\;}_{△N{F}_{1}O}$+S${\;}_{△M{F}_{1}E}$，求S的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用橢圓的定義，求點(diǎn)M的軌跡方程；
（2）設(shè)直線MN的方程為x=my-1，代入橢圓方程，整理可得（3m²+4）y²-6my-9=0，利用韋達(dá)定理，結(jié)合三角形的面積公式，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）由題意，|MF₁|+|MF₂|=6-2=4＞2=|F₁F₂|，
∴M的軌跡是以F₁（-1，0）和F₂（1，0）為焦點(diǎn)的橢圓（除去與x軸的交點(diǎn)），a=2，c=1，
∴b=$\sqrt{3}$，
∴點(diǎn)M的軌跡方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則由題意，設(shè)直線MN的方程為x=my-1，
代入橢圓方程，整理可得（3m²+4）y²-6my-9=0，
則y₁+y₂=$\frac{6m}{3{m}^{2}+4}$，y₁y₂=-$\frac{9}{3{m}^{2}+4}$，
∴S=S${\;}_{△N{F}_{1}O}$+S${\;}_{△M{F}_{1}E}$=$\frac{1}{2}$|y₁|+$\frac{1}{2}$|y₂|=$\frac{1}{2}$|y₁-y₂|=6$\sqrt{\frac{{m}^{2}+1}{3{m}^{2}+4}}$，
令t=3m²+4≥4，則S=6$\sqrt{1-\frac{1}{3t}}$，∴t=4，S的最大值為$\sqrt{33}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查軌跡方程，考查橢圓的定義，考查直線與橢圓位置關(guān)系的運(yùn)用，屬于中檔題．