Question

10．已知函數(shù)f（x）=2lnx+$\frac{1}{2}$ax²-（a+2）x（a≠0）．
（1）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）當(dāng)0＜a＜2時(shí)，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上的值域．

Answer 1

分析 （1）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論a的范圍，從而確定出函數(shù)的遞增區(qū)間；（2）通過(guò)討論a的范圍，先求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的值域．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{2}{x}$+x-（a+2）=$\frac{（ax-2）（x-1）}{x}$，（x＞0），
①a＜0時(shí)，令f′（x）＞0，解得：$\frac{2}{a}$＜x＜1，
②0＜a＜2時(shí)，令f′（x）＞0，解得：x＞$\frac{2}{a}$，或0＜x＜1，
③a≥2時(shí)，令f′（x）＞0，解得：x＞1，或0＜x＜$\frac{2}{a}$，
綜上：a＜0時(shí)，f（x）在（$\frac{2}{a}$，1）遞增，
0＜a＜2時(shí)，f（x）在（0，1），（$\frac{2}{a}$，+∞）遞增，
a≥2時(shí)，f（x）在（0，$\frac{2}{a}$），（1，+∞）遞增；
（2）由（1）得：0＜a＜2時(shí)，f（x）在[1，$\frac{2}{a}$）遞減，在（$\frac{2}{a}$，+∞）遞增，
①0＜a＜1時(shí)，$\frac{2}{a}$＞2，函數(shù)f（x）在[1，2]遞減，
∴f（x）_最小值=f（2）=2ln2-4，f（x）_最大值=f（1）=-$\frac{1}{2}$a-2，
∴函數(shù)f（x）在[1，2]上的值域是：[2ln2-4，-$\frac{1}{2}$a-2]；
②1≤a＜2時(shí)，$\frac{2}{a}$≤2，函數(shù)f（x）在[1，$\frac{2}{a}$）遞減，在（$\frac{2}{a}$，2]遞增，
∴f（x）_最小值=f（$\frac{2}{a}$）=2ln$\frac{2}{a}$-2-$\frac{2}{a}$，f（x）_最大值={f（1）或f（2）}；
∴函數(shù)在[1，2]上的值域是：[2ln$\frac{2}{a}$-2-$\frac{2}{a}$，（f（1），f（2））_max]．

點(diǎn)評(píng) 本題考察了函數(shù)的單調(diào)性，考察導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考察分類討論，是一道中檔題．