Question

17．求曲線x${\;}^{\frac{2}{3}}$+y${\;}^{\frac{2}{3}}$=a${\;}^{\frac{2}{3}}$在點(diǎn)（$\frac{\sqrt{2}}{4}$a，$\frac{\sqrt{2}}{4}$a）處的切線方程．

Answer 1

分析 對x${\;}^{\frac{2}{3}}$+y${\;}^{\frac{2}{3}}$=a${\;}^{\frac{2}{3}}$兩邊對x求導(dǎo)，可得$\frac{2}{3}$${x}^{-\frac{1}{3}}$+$\frac{2}{3}$${y}^{-\frac{1}{3}}$•y′=0，代入切點(diǎn)的坐標(biāo)，可得斜率，再由點(diǎn)斜式方程，可得切線的方程．

解答 解：對x${\;}^{\frac{2}{3}}$+y${\;}^{\frac{2}{3}}$=a${\;}^{\frac{2}{3}}$兩邊對x求導(dǎo)，可得
$\frac{2}{3}$${x}^{-\frac{1}{3}}$+$\frac{2}{3}$${y}^{-\frac{1}{3}}$•y′=0，
即有y′=-$\frac{{x}^{-\frac{1}{3}}}{{y}^{-\frac{1}{3}}}$，
可得在點(diǎn)（$\frac{\sqrt{2}}{4}$a，$\frac{\sqrt{2}}{4}$a）處的切線斜率為k=-1，
則在點(diǎn)（$\frac{\sqrt{2}}{4}$a，$\frac{\sqrt{2}}{4}$a）處的切線方程為y-$\frac{\sqrt{2}}{4}$a=-（x-$\frac{\sqrt{2}}{4}$a），
即為x+y-$\frac{\sqrt{2}}{2}$a=0．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的方程，考查直線方程的求法，兩邊同時對x求導(dǎo)是解題的關(guān)鍵．