Question

11．已知△ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c．若a=bcosC+csinB，且△ABC的面積為1+$\sqrt{2}$．則b的最小值為（　�。�

• A． 2
• B． 3
• C． $\sqrt{2}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 已知等式利用正弦定理化簡(jiǎn)，再利用誘導(dǎo)公式及兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，求出tanB的值，確定出B的度數(shù)，利用三角形面積公式求出ac的值，利用余弦定理，基本不等式可求b的最小值．

解答 解：由正弦定理得到：sinA=sinCsinB+sinBcosC，
∵在△ABC中，sinA=sin[π-（B+C）]=sin（B+C），
∴sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=sinCsinB+sinBcosC，
∴cosBsinC=sinCsinB，
∵C∈（0，π），sinC≠0，
∴cosB=sinB，即tanB=1，
∵B∈（0，π），
∴B=$\frac{π}{4}$，
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{\sqrt{2}}{4}$ac=1+$\sqrt{2}$，
∴ac=4+2$\sqrt{2}$，
由余弦定理得到：b²=a²+c²-2accosB，即b²=a²+c²-$\sqrt{2}$ac≥2ac-$\sqrt{2}$ac=4，當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)取“=”，
∴b的最小值為2．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了正弦、余弦定理，基本不等式以及三角形的面積公式，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．