Question

已知橢圓C：x²+2y²=4．
（Ⅰ）求橢圓C的離心率；
（Ⅱ）設(shè)O為原點(diǎn)，若點(diǎn)A在直線y=2上，點(diǎn)B在橢圓C上，且OA⊥OB，求線段AB長度的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡單性質(zhì),兩點(diǎn)間的距離公式

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程,圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）橢圓C：x²+2y²=4化為標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

4

+

y2

2

=1，求出a，c，即可求橢圓C的離心率；
（Ⅱ）先表示出線段AB長度，再利用基本不等式，求出最小值．

解答： 解：（Ⅰ）橢圓C：x²+2y²=4化為標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

4

+

y2

2

=1，
∴a=2，b=

2

，c=

2

，
∴橢圓C的離心率e=

c

a

=

2

2

；
（Ⅱ）設(shè)A（t，2），B（x₀，y₀），x₀≠0，則
∵OA⊥OB，
∴

OA

•

OB

=0，
∴tx₀+2y₀=0，∴t=-

2y0

x0

，
∵x02+2y02=4，
∴|AB|²=（x₀-t）²+（y₀-2）²=（x₀+

2y0

x0

）²+（y₀-2）²=x₀²+y₀²+

4y02

x02

+4=x₀²+

4-x02

2

+

2(4-x02)

x02

+4=

x02

2

+

8

x02

+4（0＜x₀²≤4），
因?yàn)?span id="5xzzfjl" class="MathJye">

x02

2

+

8

x02

≥4（0＜x₀²≤4），當(dāng)且僅當(dāng)

x02

2

=

8

x02

，即x₀²=4時(shí)等號成立，所以|AB|²≥8．
∴線段AB長度的最小值為2

2

．

點(diǎn)評：本題考查橢圓的方程與性質(zhì)，考查基本不等式的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．