Question

3．已知一個正四棱柱的側(cè)面展開圖的周長為18，則這個正四棱柱的體積的最大值為27．

Answer 1

分析 畫出圖形，設(shè)正四棱住的底面邊長為a，側(cè)棱長為b，由題意可得2a+b=9，由a、b＞0求出a的范圍，再由體積公式可得V=a²b=a²（9-2a）=-2a³+9a²（0＜a＜$\frac{9}{2}$）．然后利用導(dǎo)數(shù)求最值．

解答 解：如圖，

設(shè)正四棱住的底面邊長為a，側(cè)棱長為b，則4a+2b=18，即2a+b=9．
∴b=9-2a＞0，得a＜$\frac{9}{2}$．
其體積V=a²b=a²（9-2a）=-2a³+9a²（0＜a＜$\frac{9}{2}$）．
∴V′=-6a²+18a=-6a（a-3），
當(dāng)a∈（0，3）時，V′＞0，當(dāng)a∈（3，$\frac{9}{2}$）時，V′＜0．
∴當(dāng)a=3時，V有最大值為27．
故答案為：27．

點評 本題考查多面體體積的求法，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，是中檔題．