Question

已知函數(shù)．

（1）證明函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對稱;

（2）若，求；

（3）在（2）的條件下，若 ，為數(shù)列的前項(xiàng)和，若對一切都成立，試求實(shí)數(shù)的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（1）函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013061409024935233467/SYS201306140903373523720305_DA.files/image002.png">，設(shè)、是函數(shù)圖像上的兩點(diǎn), 其中且,則有，因此函數(shù)圖像關(guān)于點(diǎn)對稱（2）（3）

【解析】

試題分析：（1） 證明：因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013061409024935233467/SYS201306140903373523720305_DA.files/image002.png">， 設(shè)、是函數(shù)圖像上的兩點(diǎn), 其中且,

則有 

因此函數(shù)圖像關(guān)于點(diǎn)對稱                           4分

（2）由（1）知當(dāng)時(shí)，

①     ②

①+②得                         8分

（3）當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)， =

∴ （）

又對一切都成立，即恒成立

∴恒成立，又設(shè),所以在上遞減,所以在處取得最大值

∴，即

所以的取值范圍是                                12分

考點(diǎn)：函數(shù)對稱性，求最值與數(shù)列求和

點(diǎn)評：證明函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對稱只需證明，第二問數(shù)列求和結(jié)合通項(xiàng)的特點(diǎn)采用倒序相加法，第三問將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值，進(jìn)而可借助于導(dǎo)數(shù)求解