Question

13．P（x，y）滿足不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x+y≥4}\\{x≤4}\\{y≤3}\end{array}\right.$，則x²+y²的取值范圍是[8，25]．

Answer 1

分析 作出不等式組$\left\{\begin{array}{l}x+y≥4\\ x≤4\\ y≤3\end{array}\right.$對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用x²+y²的幾何意義求最值．

解答 解：設(shè)z=x²+y²，則z的幾何意義為動(dòng)點(diǎn)P（x，y）到原點(diǎn)距離的平方．
作出不等式組$\left\{\begin{array}{l}x+y≥4\\ x≤4\\ y≤3\end{array}\right.$對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：
由圖象可知點(diǎn)A（4，3）到原點(diǎn)的距離最大，最大值為：25．
原點(diǎn)到直線x+y-4=0的距離最小，d=$\frac{4}{\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}}$=$\frac{4}{\sqrt{2}}$
所以z=x²+y²的最小值為z=8．
x²+y²的取值范圍是[8，25]．
故答案為：[8，25]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查點(diǎn)到直線的距離公式，以及簡(jiǎn)單線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義是解決線性規(guī)劃內(nèi)容的基本方法，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．