Question

（本小題滿(mǎn)分14分）已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)，且與直線(xiàn)相切，橢圓的對(duì)稱(chēng)軸為坐標(biāo)軸，一個(gè)焦點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓上.
(1)求動(dòng)圓圓心的軌跡的方程及橢圓的方程；
(2)若動(dòng)直線(xiàn)與軌跡在處的切線(xiàn)平行，且直線(xiàn)與橢圓交于兩點(diǎn)，試求當(dāng)面積取到最大值時(shí)直線(xiàn)的方程.

Answer 1

(1) 軌跡的方程；橢圓方程為 (2)

試題分析：（1）過(guò)圓心M作直線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為H.
由題意得，|MH|=|MF|,由拋物線(xiàn)定義得，點(diǎn)M的軌跡是以為焦點(diǎn)，直線(xiàn)為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn)，其方程為....................3分
設(shè)橢圓方程為，將點(diǎn)A代入方程整理得解得 .故所求的橢圓方程為...............5分
（2）軌跡的方程為，即.
則，所以軌跡在處的切線(xiàn)斜率為，......7分
設(shè)直線(xiàn)方程為，代入橢圓方程得

因?yàn)?，解得；............9分
設(shè)
所以
點(diǎn)A到直線(xiàn)的距離為................12分.
所以
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)直線(xiàn)的方程為
..................................14分
點(diǎn)評(píng)：求軌跡方程的一般方法：直接法、定義法、相關(guān)點(diǎn)法、參數(shù)法、交軌法、向量法等。本題求軌跡方程用到的是定義法。用定義法求軌跡方程的關(guān)鍵是條件的轉(zhuǎn)化——轉(zhuǎn)化成某一已知曲線(xiàn)的定義條件。