Question

（2011•重慶一模）已知向量

a

=（

x

4

，

y

3

），

b

=（

x

4

，-

y

3

），曲線

a

•

b

=1上一點(diǎn)P到點(diǎn)F（5，0）的距離為11，Q為PF 的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則|

OQ

|等于（　　）

A．2.5

B．1.5或9.5

C．9.5

D．3或9.5

Answer 1

分析：根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式，可得曲線

a

•

b

=1對(duì)應(yīng)的圖形是雙曲線

x2

16

-

y2

9

=1，得到F（5，0）恰好是雙曲線的右焦點(diǎn)．然后設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為F'（-5，0），連接PF'、OQ，結(jié)合雙曲線的定義和三角形的中位線定理，可以計(jì)算出O、Q兩點(diǎn)的距離．

解答：解：∵向量

a

=（

x

4

，

y

3

），

b

=（

x

4

，-

y

3

），
∴

a

•

b

=

x

4

•

x

4

+

y

3

•（-

y

3

）=

x2

16

-

y2

9

∴曲線

a

•

b

=1就是

x2

16

-

y2

9

=1
對(duì)應(yīng)的圖形是雙曲線，a²=16，b²=9
∴a=4，b=3，c=

a2+b2

=5
可得點(diǎn)F（5，0）恰好是雙曲線的右焦點(diǎn)，
設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為F'（-5，0），連接PF'、OQ
∵OQ是△PFF'的中位線，|PF-PF'|=2a=8
∴當(dāng)點(diǎn)P在雙曲線左支上時(shí)，|

OQ

|=

1

2

PF'=

1

2

（PF-8）=1.5
當(dāng)點(diǎn)P在雙曲線右支上時(shí)，|

OQ

|=

1

2

PF'=

1

2

（PF+8）=9.5
選B

點(diǎn)評(píng)：本題以向量的數(shù)量積運(yùn)算為載體，著重考查了圓錐曲線的定義和三角形中位線定理等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．