Question

在數(shù)列{a_n}中，，其中S_n表示數(shù)列的前n項和．
（Ⅰ）分別求a₂，a₃，a₄的值；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n的表達式，并予以證明．

Answer 1

（本小題滿分14分）
解：（Ⅰ）因為，，
所以n=2時，，
n=3時===，，
n=4時==，…（3分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）猜想數(shù)列{a_n}的通項公式…（5分）
以下用數(shù)學歸納法證明：①n=1時，，命題成立；
②假設n=k（k≥1）時成立，即成立…（7分）
由已知
推得：
成立…（9分）
那么，當n=k+1時，=
=
則n=k+1時，也成立．…（14分）
綜上可知，對任意n∈N，成立．
分析：（Ⅰ）通過關系式，利用n=2，3，4，即可求a₂，a₃，a₄的值；
（Ⅱ）通過觀察a₁，a₂，a₃，a₄的值，猜想求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n的表達式，然后利用數(shù)學歸納法證明．
點評：本題是中檔題，考查數(shù)列的遞推關系式的應用，數(shù)列的項的求法，數(shù)學歸納法的證明方法，注意證明中必須利用假設，考查計算能力，邏輯推理能力．