Question

（2012•湖南模擬）數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足a₁=1，

a2k

a2k-1

=2，

a2k+1

a2k

=3（k≥1，k∈N），則
（1）a₃+a₄=

18

；
（2）其前n項(xiàng)和S_n=

3 5 (6 n 2 -1)n=2k 8×6 n-1 2 -3 5 n=2k-1

(k∈N)

．

Answer 1

分析：（1）由a₁=1，

a2k

a2k-1

=2，

a2k+1

a2k

=3可得a₂=2a₁，a₃=3a₂，a₄=2a₃，可求a₃+a₄
（2）由已知可得a_2k+1=3a_2k=3（2a_2k-1）=6a_2k-1，則數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)是以1為首項(xiàng)，以6為公比的等比數(shù)列；由a_2k=2a_2k-1即偶數(shù)項(xiàng)都是前一項(xiàng)的2倍，從而對(duì)n分類(lèi)討論：分n=2k時(shí)，當(dāng)n=2k-1兩種情況，利用等比數(shù)列的求和公式分別求解

解答：解：（1）∵a₁=1，

a2k

a2k-1

=2，

a2k+1

a2k

=3
∴a₂=2a₁=2，a₃=3a₂=6，a₄=2a₃=12
∴a₃+a₄=18
（2）∵a₁=1，

a2k

a2k-1

=2，

a2k+1

a2k

=3
∴a_2k+1=3a_2k=3（2a_2k-1）=6a_2k-1
∴數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)是以1為首項(xiàng)，以6為公比的等比數(shù)列
∵a_2k=2a_2k-1即偶數(shù)項(xiàng)都是前一項(xiàng)的2倍
當(dāng)n=2k時(shí)，S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n
=1+2×1+6+2×6+6²+2×6²+…+6(

n

2

-1)+2×6

n

2

-1
=3（1+6+…+6(

n

2

-1)）
=3×

1-6 n 2

1-6

=

3(6 n 2 -1)

5

當(dāng)n=2k-1時(shí)，S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n
=1+2×1+6+2×6+…+6

n-2

2

-2×6

n-2

2

=

8×6 n-1 2 -3

5

故答案為：18；Sn=

3(6 n 2 -1) 5 ，n=2k 8×6 n-1 2 -3 5 ，n=2k-1

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式求解是數(shù)列的項(xiàng)及等比數(shù)列的求和公式 的應(yīng)用，解題中體現(xiàn)了分類(lèi)討論的思想