Question

已知函數(shù)，其中為實(shí)數(shù)，常數(shù).

(1) 若是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，求的值；

(2) 當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(3) 當(dāng)取正實(shí)數(shù)時(shí)，若存在實(shí)數(shù)，使得關(guān)于的方程有三個(gè)實(shí)數(shù)根，求的取值范圍.

 

Answer 1

（1）；

（2）的單調(diào)增區(qū)間是，；的單調(diào)減區(qū)間是，，；

（3）.

【解析】

試題分析：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值等基礎(chǔ)知識，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計(jì)算能力.第一問，先對求導(dǎo)，由于是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，所以，解出a的值，需驗(yàn)證，當(dāng)時(shí)，是否有極值點(diǎn)；第二問，把代入，對求導(dǎo)，利用，解不等式，解出函數(shù)的單調(diào)遞增遞減區(qū)間；第三問，對求導(dǎo)，令，討論三種情況，來決定方程有沒有根，再分別數(shù)形結(jié)合看與的圖象是否有三個(gè)交點(diǎn).

試題解析：(1) （2分）

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719551134522210/SYS201411171955173611301490_DA/SYS201411171955173611301490_DA.010.png">是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，所以，

即.

而當(dāng)時(shí)，，

可驗(yàn)證：是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn).因此. （4分）

(2) 當(dāng)時(shí)，

令得，解得，而.

所以當(dāng)變化時(shí)，、的變化是

			極小值			極大值

 

因此的單調(diào)增區(qū)間是，；

的單調(diào)減區(qū)間是，，； （9分）

(3) 當(dāng)取正實(shí)數(shù)時(shí)，，

令得，

當(dāng)時(shí)，解得.

在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

但是函數(shù)值恒大于零，極大值，極小值，并且根據(jù)指數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的變化速度可知當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.因此當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程一定總有三個(gè)實(shí)數(shù)根，結(jié)論成立；

當(dāng)時(shí)，的單調(diào)增區(qū)間是，無論取何值，方程最多有一個(gè)實(shí)數(shù)根，結(jié)論不成立.

因此所求的取值范圍是. （12分）

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值.