Question

已知圓x²+y²=1與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為A、B，若圓內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)P使|PA|、|PO|、|PB|成等比數(shù)列，則

PA

•

PB

的取值范圍為（　　）

A．(0， 1 2 ]

B．[- 1 2 ，0)

C．(- 1 2 ，0)

D．[-1，0）

Answer 1

設(shè)P（x，y） A（-1，0），B（1，0）
則

PA

=（-1-x，-y）

PB

=（1-x，-y）

PO

=（-x，-y）
設(shè)z=PA•PB=x²-1+y²．（1）
又∵|PA|•|PB|=PO²
∴[（1+x）²+y²]•[（1-x）²+y²]=（x²+y²）²
整理得：x²-y²=

1

2

（2）
這是P點(diǎn)滿足的條件 （其圖形為一雙曲線）
求它與圓的交點(diǎn)：
即，解方程組：
x²+y²=1．（3）
x²-y²=

1

2

（4）
得x²=

3

4

（5）
（但P（x，y）在圓內(nèi)，故對(duì)P，只能x²＜

3

4

又由（2）知x²＞=

1

2

，
即

1

2

≤x²＜

3

4

（6）
由（2）還得：y²=x²-

1

2

代入（1），得
z=2x²-

3

2

（7）
由（（6），（7）知，z的取值范圍為
為：[-

1

2

，0）
故選B