Question

15．如果一條信息有n（n＞1，n∈N）種可能的情形（各種情形之間互不相容），且這些情形發(fā)生的概率分別為p₁，p₂，…，p_n，則稱H=f（p₁）+f（p₂）+…f（p_n）（其中f（x）=-xlog_ax，x∈（0，1））為該條信息的信息熵．已知$f（\frac{1}{2}）=\frac{1}{2}$．
（1）若某班共有32名學生，通過隨機抽簽的方式選一名學生參加某項活動，試求“誰被選中”的信息熵的大��；
（2）某次比賽共有n位選手（分別記為A₁，A₂，…，A_n）參加，若當k=1，2，…，n-1時，選手A_k獲得冠軍的概率為2^-k，求“誰獲得冠軍”的信息熵H關于n的表達式．

Answer 1

分析 （1）由$f（\frac{1}{2}）=\frac{1}{2}$，可得$-\frac{1}{2}{log_a}\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$，解之得a=2，由32種情形等可能，故${P_k}=\frac{1}{32}（k=1，2，…，32）$，即可求“誰被選中”的信息熵的大�。�
（2）$H=\frac{1}{2}+\frac{2}{4}+\frac{3}{8}+…+\frac{n-1}{{{2^{n-1}}}}+\frac{n-1}{{{2^{n-1}}}}$，利用錯位相減法，可得結論．

解答 解：（1）由$f（\frac{1}{2}）=\frac{1}{2}$，可得$-\frac{1}{2}{log_a}\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$，解之得a=2．…（2分）
由32種情形等可能，故${P_k}=\frac{1}{32}（k=1，2，…，32）$，…（4分）
所以$H=32×（-\frac{1}{32}{log_2}\frac{1}{32}）=5$，
答：“誰被選中”的信息熵為5．                           …（6分）
（2）A_n獲得冠軍的概率為$1-（\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+…+\frac{1}{{{2^{n-1}}}}）=1-（1-\frac{1}{{{2^{n-1}}}}）=\frac{1}{{{2^{n-1}}}}$，…（8分）
當k=1，2，…，n-1時，$f（{p_k}）=-{2^{-k}}{log_2}{2^{-k}}=\frac{k}{2^k}$，又$f（{p_n}）=\frac{n-1}{{{2^{n-1}}}}$，
故$H=\frac{1}{2}+\frac{2}{4}+\frac{3}{8}+…+\frac{n-1}{{{2^{n-1}}}}+\frac{n-1}{{{2^{n-1}}}}$，…（11分）$\frac{1}{2}H=\frac{1}{4}+\frac{2}{8}+…+\frac{n-2}{{{2^{n-1}}}}+\frac{n-1}{2^n}+\frac{n-1}{2^n}$，
以上兩式相減，可得$\frac{1}{2}H=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+…+\frac{1}{{{2^{n-1}}}}=1-\frac{1}{{{2^{n-1}}}}$，故$H=2-\frac{4}{2^n}$，
答：“誰獲得冠軍”的信息熵為$2-\frac{4}{2^n}$． 　　　             …（14分）

點評 本題考查新定義，考查數(shù)列知識的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．