Question

已知橢圓

y2

a2

+

x2

b2

=1 (a＞b＞0)的離心率e滿足3， 

1

e

， 

4

9

成等比數(shù)列，且橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最短距離為2-

3

．過(guò)點(diǎn)（2，0）作直線l交橢圓于點(diǎn)A，B．
（1）若AB的中點(diǎn)C在y=4x（x≠0）上，求直線l的方程；
（2）設(shè)橢圓中心為，問(wèn)是否存在直線l，使得的面積滿足2S_△AOB=|OA|•|OB|？若存在，求出直線AB的方程；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）

e2= c2 a2 = 3 4 a-c=2- 3

…（2分），
∴

a=2 c= 3

橢圓方程：

y2

4

+x2=1…（4分）
設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），中點(diǎn)為C（x₀，y₀），
則有：

y 21 4 + x 21 =1 y 22 4 + x 22 =1

?

(y1-y2)(y1+y2)

4

+(x1-x2)(x1+x2)=0
?

x0

1

+

y0

4

×k=0?k=-

4x0

y0

=-1
∴直線l的方程為y=-x+2…（6分），經(jīng)檢驗(yàn)y=-x+2適合題意．…（6分）
（2）設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則由題意可設(shè)直線l的方程為y=k（x-2）
代入橢圓方程可得：

x1+x2= 4k2 k2+4 x1•x2= 4k2-4 k2+4

…（9分）
2S_△AOB=|OA|•|OB|?x₁x₂+y₁y₂=0?（k²+1）x₁x₂-2k²（x₁+x₂）+4k²=0，…（11分），
經(jīng)檢驗(yàn)y=±

1

2

(x-2)適合題意…（12分）