Question

15．在平面直角坐標系xOy中，以O(shè)為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系．曲線C₁的極坐標方程為ρ²（3+sin²θ）=12，曲線C₂的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=1+tcosα\\ y=tsinα\end{array}\right.$（t為參數(shù)），$α∈（{0，\frac{π}{2}}）$．
（1）求曲線C₁的直角坐標方程，并判斷該曲線是什么曲線；
（2）設(shè)曲線C₂與曲線C₁的交點為A，B，當$|{PA}|+|{PB}|=\frac{7}{2}$時，求cosα的值．

Answer 1

分析 （1）利用極坐標方程與直角坐標方程的轉(zhuǎn)化方法可得結(jié)論；
（2）將$\left\{\begin{array}{l}x=1+tcosα\\ y=tsinα\end{array}\right.$代入$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1得t²（4-cos²α）+6tcosα-9=0，由直線參數(shù)方程的幾何意義，結(jié)合$|{PA}|+|{PB}|=\frac{7}{2}$，求cosα的值．

解答 解：（1）由ρ²（3+sin²θ）=12得$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1，該曲線為橢圓．
（2）將$\left\{\begin{array}{l}x=1+tcosα\\ y=tsinα\end{array}\right.$代入$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1得t²（4-cos²α）+6tcosα-9=0，
由直線參數(shù)方程的幾何意義，設(shè)|PA|=|t₁|，|PB|=|t₂|，t₁+t₂=$\frac{-6cosα}{{4-{{cos}^2}α}}$，t₁t₂=$\frac{-9}{4-co{s}^{2}α}$，
所以|PA|+|PB|=|t₁-t₂|=$\frac{7}{2}$，從而cos²α=$\frac{4}{7}$，由于$α∈（{0，\frac{π}{2}}）$，所以 cosα=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$．

點評 本題考查極坐標方程與直角坐標方程的轉(zhuǎn)化，考查參數(shù)方程的運用，屬于中檔題．