Question

【題目】已知在圖1所示的梯形中，，于點(diǎn)，且.將梯形沿對(duì)折，使平面平面，如圖2所示，連接，取的中點(diǎn).

（1）求證：平面平面；

（2）在線段上是否存在點(diǎn)，使得直線平面？若存在，試確定點(diǎn)的位置，并給予證明；若不存在，請(qǐng)說明理由；

（3）設(shè)，求三棱錐的體積.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）存在，且當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，平面；（3）.

【解析】

（1）取的中點(diǎn)，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得.再根據(jù)面面垂直性質(zhì)定理得平面，即得，利用線面垂直判定定理得平面.由平幾知識(shí)得四邊形是平行四邊形.即.從而可得平面.最后根據(jù)面面垂直判定定理得結(jié)論.（2）先判斷點(diǎn)位置，再利用線面平行判定定理證明，(3)先根據(jù)面面垂直性質(zhì)定理得線面垂直，即得錐體的高，再根據(jù)等積法以及錐體體積公式求結(jié)果.

解：（1）取的中點(diǎn)，連接，.

因?yàn)?/span>，所以.

因?yàn)槠矫?/span>平面，，平面平面，

所以平面，

又平面，

所以.

又，所以平面.①

因?yàn)?/span>，，

所以，.

因?yàn)?/span>，，所以，所以四邊形是平行四邊形.

所以.②

由①②，得平面.

又平面，所以平面平面.

（2）當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，平面.

證明：連接，.

由為線段的中點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，

得.

又平面，平面.

所以平面.

（3）因?yàn)?/span>，所以到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離.

取的中點(diǎn)，連接，

則，且.

因?yàn)槠矫?/span>平面，，平面平面，

所以平面，所以平面.

所以 .