Question

如圖1-1已知△ABC中,AD是∠BAC的平分線,

求證:=.

圖1-1

Answer 1

思路分析:比例線段常由平行線而產(chǎn)生,在沒有平行時(shí),可通過添加平行線而促成比例線段的產(chǎn)生.

證法一:過C作CE∥AD交BA的延長(zhǎng)線于E.

∵AD∥CE,∴=.

又∵∠1=∠3,∠2=∠4,AD平分∠BAC,

∴∠1=∠2.∴∠3=∠4.∴AC=AE.

∴=.

證法二:過D作DE∥AC交AB于E,則∠2=∠3.

圖1-2

又∵∠1=∠2,∴∠1=∠3.

∴EA=ED.又=,

==.

∴=.

證法三:過D作DE∥AC交AB于E,DF∥AB交AC于F.

易證四邊形AEDF是菱形.

圖1-3

∴DE=DF.

由于△BDE∽△DFC,

∴==.

又=,

∴=.

圖1-4

證法四:設(shè)△ABC中BC邊上的高為h,

則S_△ABD=BD·h,S_△ACD=CD·h.

過D分別作DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,

則S_△ABD=AB·DE,

S_△ACD=AC·DF.

于是=.

又∵∠1=∠2,

∴DE=DF.

∴=.