Question

9．設(shè)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，對任意的x∈R，都有f（x-2）=f（x+2），且當x∈[-2，0]時f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x-1，若關(guān)于x的方程f（x）-log_a（x+2）=0（a＞1）在區(qū)間[-2，6]內(nèi)恰有三個不同的實根，則實數(shù)a的取值范圍是（$\root{3}{4}$，2）．

Answer 1

分析 由已知中可以得到函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=2對稱，結(jié)合函數(shù)是偶函數(shù)，及x∈[-2，0]時的解析式，可畫出函數(shù)的圖象，將方程f（x）-log_a（x+2）=0恰有3個不同的實數(shù)解，轉(zhuǎn)化為函數(shù)f（x）的與函數(shù)y=log_a（x+2）的圖象恰有3個不同的交點，數(shù)形結(jié)合即可得到實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：∵對于任意的x∈R，都有f（2-x）=f（x+2），
∴函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=2對稱，
又∵當x∈[-2，0]時，f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x-1，且函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，
若在區(qū)間（-2，6）內(nèi)關(guān)于x的方程f（x）-log_a（x+2）=0恰有3個不同的實數(shù)解，
則函數(shù)y=f（x）與y=log_a（x+2）在區(qū)間（-2，6）上有三個不同的交點，如下圖所示：
又f（-2）=f（2）=3，則有l(wèi)og_a（2+2）＜3，且log_a（6+2）＞3，
解得：$\root{3}{4}$＜a＜2，
故答案為：（$\root{3}{4}$，2）．

點評 本題考查的知識點是根的存在性及根的個數(shù)判斷，指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，其中根據(jù)方程的解與函數(shù)的零點之間的關(guān)系，將方程根的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點問題，是解答本題的關(guān)鍵，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想，屬于中檔題．