Question

已知函數(shù)f(x)=，
(1)若a=4，求曲線f(x)在點(diǎn)(e，f(e))處的切線方程；
(2)求f(x)的極值；
(3)若函數(shù)f(x)的圖象與函數(shù)g(x)=1的圖象在區(qū)間(0，e²]上有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

Answer 1

解：(1)∵a=4，
∴且，
又∵，
∴，
∴f(x)在點(diǎn)(e，f(e))處的切線方程為：，即4x+e²y-9e=0．
(2)f(x)的定義域?yàn)?0，+∞)，，
令f′(x)=0得，
當(dāng)時(shí)，f′(x)＞0，f(x)是增函數(shù)；
當(dāng)時(shí)，f′(x)＜0，f(x)是減函數(shù)；
∴f(x)在處取得極大值，即。
(3)①當(dāng)，即a＞-1時(shí)，由(2)知f(x)在(0，)上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，
∴當(dāng)時(shí)，f(x)取得最大值，即；
又當(dāng)x=e^-a時(shí)，f(x)=0，當(dāng)x∈(0，e^-a]時(shí)，f(x)＜0，
當(dāng)x∈(e^-a，e²]時(shí)，，
所以f(x)的圖象與g(x)=1的圖象在(0，e²]上有公共點(diǎn)，
等價(jià)于，解得a≥1，
又因?yàn)閍＞-1，所以a≥1；
②當(dāng)，即a≤-1時(shí)，f(x)在(0，e²]上是增函數(shù)，
∴f(x)在(0，e²]上的最大值為，
∴原問(wèn)題等價(jià)于，解得a≥e²-2，
又∵a≤-1，
∴無(wú)解；
綜上，a的取值范圍是a≥1。