Question

15．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1-x}{ax}$+lnx在（1，+∞）上是增函數(shù)，且a＞0．
（1）求a的取值范圍；
（2）求函數(shù)g（x）=ln（1+x）-x在[0，+∞）上的最大值；
（3）設(shè)a＞1，b＞0，求證：$\frac{1}{a+b}＜ln\frac{a+b}＜\frac{a}$．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由函數(shù)f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)，所以f′（x）=-$\frac{1}{a{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$≥0在（1，+∞）上恒成立，運(yùn)用參數(shù)分離，求得最值即可；
（2）求得g（x）的導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)性，即可得到最小值；
（3）由（1）知f（x）=$\frac{1-x}{ax}$+lnx在（1，+∞）上是增函數(shù)，所以f（$\frac{a+b}$）＞f（1），由第（2）問可知g（$\frac{a}$）=ln（1+$\frac{a}$）-$\frac{a}$＜g（0）=0，化簡(jiǎn)即可得證．

解答 解：（1）f（x）的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=-$\frac{1}{a{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$，
因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)，
所以f′（x）=-$\frac{1}{a{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$≥0在（1，+∞）上恒成立，
即x≥$\frac{1}{a}$在（1，+∞）上恒成立，
所以只需1≥$\frac{1}{a}$，
又因?yàn)閍＞0，所以a≥1；
（2）因?yàn)閤∈[0，+∞），所以g′（x）=$\frac{1}{1+x}$-1=$\frac{-x}{1+x}$≤0
所以g（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞減，
所以g（x）=ln（1+x）-x在[0，+∞）上的最大值為g（0）=0．
（3）證明：因?yàn)閍＞1，b＞0，所以$\frac{a+b}$＞1，
由（1）知f（x）=$\frac{1-x}{ax}$+lnx在（1，+∞）上是增函數(shù)，所以f（$\frac{a+b}$）＞f（1），
即$\frac{1-\frac{a+b}}{a•\frac{a+b}}$+ln$\frac{a+b}$＞0，化簡(jiǎn)得$\frac{1}{a+b}$＜ln$\frac{a+b}$，
又因?yàn)?\frac{a+b}$=1+$\frac{a}$，
由第（2）問可知g（$\frac{a}$）=ln（1+$\frac{a}$）-$\frac{a}$＜g（0）=0，
即ln$\frac{a+b}$＜$\frac{a}$，
綜上$\frac{1}{a+b}＜ln\frac{a+b}＜\frac{a}$得證．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)區(qū)間和最值，同時(shí)考查不等式的恒成立問題和不等式的證明，注意運(yùn)用單調(diào)性，屬于中檔題．