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已知f(x)=,a≠b,

求證：|f(a)-f(b)|＜|a-b|.

證明略


解析:

方法一  ∵f(a)=,f(b)= ,

∴原不等式化為|-|＜|a-b|.

∵|-|≥0，|a-b|≥0，

∴要證|-|＜|a-b|成立,

只需證（-）2＜(a-b)2.

即證1+a2+1+b2-2＜a2-2ab+b2,

即證2+a2+b2-2＜a2-2ab+b2.

只需證2+2ab＜2，

即證1+ab＜.

當(dāng)1+ab＜0時(shí)，∵＞0,

∴不等式1+ab＜成立.

從而原不等式成立.

當(dāng)1+ab≥0時(shí)，要證1+ab＜,

只需證(1+ab)2＜（）2,

即證1+2ab+a2b2＜1+a2+b2+a2b2,即證2ab＜a2+b2.

∵a≠b,∴不等式2ab＜a2+b2成立.∴原不等式成立.

方法二  ∵|f（a）-f（b）|=|-|

==，

又∵|a+b|≤|a|+|b|=+＜+，

∴＜1.

∵a≠b,∴|a-b|＞0.∴|f(a)-f(b)|＜|a-b|.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f(x)=
a
•
b
-1，其中向量
a
=(sin2x，2cosx)，
b
=(
3
，cosx)，（x∈R）．
（1） 求f（x）的最小正周期和最小值；
（2） 在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若f(
A
4
)=
3
，a=2
13
，b=8，求邊長c的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)
a
=(
3
cos2ωx，sinωx)，
b
=(1，cosωx)（其中ω＞0），已知f(x)=
a
•
b
-
3
2
且f（x）最小正周期為2π
（1）求ω的值及y=f（x）的表達(dá)式；
（2）設(shè)a∈(
π
6
，
2π
3
)，β∈(-
5π
6
，-
π
3
)，f(α)=
3
5
，f(β)=-
4
5
求cos（α-β）的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f(x)=
a-bx
x-a-1
的圖象的對稱中心是（3，-1），則f（sinx）的值域?yàn)?!--BA-->
[-
3
4
，-
1
2
]
[-
3
4
，-
1
2
]
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f(x)=a-
22x+1
(x∈R)是奇函數(shù)，則lna=
0
0
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•資陽一模）已知f(x)=
a+4x，x≥1
x2-1
x-1
，x＜1
，在x=1處連續(xù)，則常數(shù)a=
-2
-2
．

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同步練習(xí)冊答案