Question

（2012•溫州二模）函數(shù)f（x）=（x+a）（|x-a|+|x-2|）的圖象為中心對(duì)稱圖形，則實(shí)數(shù)a的值為

-

2

3

．

Answer 1

分析：函數(shù)f（x）的圖象從左到右依次為一段拋物線、一條線段、一段拋物線，對(duì)稱中心必須是線段的中點(diǎn)．線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)：

a+2

2

，拋物線的對(duì)稱軸為 x=

-a+  a+2 2

2

，令

a+2

2

=

-a+  a+2 2

2

，解得a的值．

解答：解：∵f（x）=（x+a）（|x-a|+|x-2|），
首先注意到，函數(shù)f（x）的圖象從左到右依次為一段拋物線、一條線段、一段拋物線．
因此，圖形的對(duì)稱中心必須是線段的中點(diǎn)．（因?yàn)橹本�旋轉(zhuǎn)180°以后只能和自己重合）
另外，兩段拋物線要旋轉(zhuǎn)180°以后重合，必須繞著其對(duì)稱軸上的某個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)．
左側(cè)的一段拋物線方程為f（x）=（x+a）（a+2-2x），對(duì)稱軸為x=

-a+  a+2 2

2

，
中間一條線段的方程為 f（x）=（x+a）|a-x+x-2|=（x+a）•|a-2|，線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)：

a+2

2

，
右側(cè)的一段拋物線方程為f（x）=（x+a）（2x-2-a），對(duì)稱軸為x=

-a+  a+2 2

2

．
令

a+2

2

=

-a+  a+2 2

2

，解得a=-

2

3

，
故答案為-

2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查絕對(duì)值的函數(shù)，函數(shù)圖象的對(duì)稱性應(yīng)用，屬于中檔題．