Question

函數(shù)f（x）=alnx+1（a＞0）．
（Ⅰ） 當x＞0時，求證：f(x)-1≥a(1-

1

x

)；
（Ⅱ） 在區(qū)間（1，e）上f（x）＞x恒成立，求實數(shù)a的范圍．
（Ⅲ） 當a=

1

2

時，求證：f(2)+f(3)+…+f(n+1)＞2(n+1-

n+1

）（n∈N^*）．

Answer 1

（ I）證明：設φ(x)=f(x)-1-a(1-

1

x

)=alnx-a(1-

1

x

)，(x＞0)
令φ′(x)=

a

x

-

a

x2

=0，則x=1，即φ（x）在x=1處取到最小值，
則φ（x）≥φ（1）=0，即原結論成立．
（ II）由f（x）＞x得alnx+1＞x
即a＞

x-1

lnx

，
令g(x)=

x-1

lnx

，(x＞1)，g′(x)=

lnx- x-1 x

(lnx)2

令h(x)=lnx-

x-1

x

，h′(x)=

1

x

-

1

x2

＞0，
則h（x）單調(diào)遞增，所以h（x）＞h（1）=0
∵h（x）＞0，∴g'（x）＞0，即g（x）單調(diào)遞增，則g（x）的最大值為g（e）=e-1
所以a的取值范圍為[e-1，+∞）．
（ III）證明：由第一問得知lnx≥1-

1

x

，則ln

n

≥1-

1

n

則f(2)+f(3)+…+f(n+1)=

1

2

(ln2+ln3+…+ln(n+1))+n
=ln

2

+ln

3

+…+ln

n+1

+n≥1-

1

2

+1-

1

3

+…+1-

1

n+1

+n
=2n-2(

1

2 2

+

1

2 3

+…+

1

2 n+1

)＞2n-2(

1

1+ 2

+

1

2 + 3

+…+

1

n + n+1

)=2(n+1-

n+1

)．