Question

1．已知直線l：kx-y+1+2k=0（k∈R）
（Ⅰ）證明直線l經(jīng)過定點并求此點的坐標；
（Ⅱ）若直線l不經(jīng)過第四象限，求k的取值范圍；
（Ⅲ）若直線l交x軸負半軸于點A，交y軸正半軸于點B，O為坐標原點，設△AOB的面積為S，求S的最小值及此時直線l的方程．

Answer 1

分析 （I）直線l：kx-y+1+2k=0（k∈R），化為：k（x+2）-y+1=0，令$\left\{\begin{array}{l}{x+2=0}\\{-y+1=0}\end{array}\right.$，解出即可得出．
（Ⅱ）由直線l不經(jīng)過第四象限，y=kx+2k+1．即可得出．
（Ⅲ）直線l交x軸負半軸于點A，交y軸正半軸于點B，O為坐標原點，設△AOB的面積為S，由直線l的方程kx-y+1+2k=0可得與坐標軸的交點A$（-\frac{1+2k}{k}，0）$，B（0，1+2k），$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1+2k}{k}＜0}\\{1+2k＞0}\end{array}\right.$，k≠0，解得：k＞0．故S=$\frac{1}{2}|-\frac{1+2k}{k}|$×|1+2k|=$\frac{1}{2}$$\frac{1+2k}{k}×（1+2k）$，利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：（I）證明：直線l：kx-y+1+2k=0（k∈R），化為：k（x+2）-y+1=0，令$\left\{\begin{array}{l}{x+2=0}\\{-y+1=0}\end{array}\right.$，解得x=-2，y=1．
∴直線l經(jīng)過定點（-2，1）．
（Ⅱ）由直線l不經(jīng)過第四象限，y=kx+2k+1．
則k≥0，
（Ⅲ）直線l交x軸負半軸于點A，交y軸正半軸于點B，O為坐標原點，設△AOB的面積為S，
由直線l的方程kx-y+1+2k=0可得與坐標軸的交點A$（-\frac{1+2k}{k}，0）$，B（0，1+2k），$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1+2k}{k}＜0}\\{1+2k＞0}\end{array}\right.$，k≠0，解得：k＞0．
∴S=$\frac{1}{2}|-\frac{1+2k}{k}|$×|1+2k|=$\frac{1}{2}$$\frac{1+2k}{k}×（1+2k）$=$\frac{1}{2}$$（4k+\frac{1}{k}+4）$≥$\frac{1}{2}（2\sqrt{4k•\frac{1}{k}}+4）$=4，當且僅當k=$\frac{1}{2}$時取等號．
S的最小值為4，及此時直線l的方程為：x-2y+4=0．

點評 本題考查了直線系的方程、基本不等式的性質(zhì)、三角形面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．