Question

已知函數(shù)f（x）=x³-2ax²+bx+c．
（Ⅰ）當c=0時，f（x）的圖象在點（1，3）處的切線平行于直線y=x+2，求a，b的值；
（Ⅱ）當a=

3

2

，b=-9時，f（x）在點A，B處有極值，O為坐標原點，若A，B，O三點共線，求c的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）當c=0時，函數(shù)f（x）=x³-2ax²+bx．依題意可得f（1）=3，f'（1）=1，即可得到a，b的值；
（Ⅱ）當a=

3

2

，b=-9時，f'（x）=3x²-6x-9，列表得到，當x=-1時，f（x）_極大值=5+c；當x=3時，f（x）_極小值=-27+c．又由A，B，O三點共線，
則得到k_OA=k_OB，進而得到c的值．

解答：解：（Ⅰ） 當c=0時，f（x）=x³-2ax²+bx．
則f'（x）=3x²-4ax+b
由于f（x）的圖象在點（1，3）處的切線平行于直線y=x+2，
可得f（1）=3，f'（1）=1，
即

3-4a+b=1 1-2a+b=3

，
解得

a=2 b=6.

；
（Ⅱ）當a=

3

2

，b=-9時，f（x）=x³-3x²-9x+c．
所以f'（x）=3x²-6x-9=3（x-3）（x+1）
令f'（x）=0，解得x₁=3，x₂=-1．
當x變化時，f'（x），f（x）變化情況如下表：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，3）	3	（3，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	5+c	↘	-27+c	↗

所以當x=-1時，f（x）_極大值=5+c；當x=3時，f（x）_極小值=-27+c．
不妨設A（-1，5+c），B（3，-27+c）
因為A，B，O三點共線，所以k_OA=k_OB．
即

5+c

-1

=

-27+c

3

，解得c=3．
故所求c值為3．

點評：本題考查了導數(shù)的幾何意義，導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、極值的關系，屬于中檔題．