Question

19．已知函數(shù)f（x）=x（x+k）的圖象在點（1，f（1））處的切線方程為y=3x+a，則數(shù)列{$\frac{1}{f（n）}$}的前2017項和為$\frac{2017}{2018}$．

Answer 1

分析 f′（x）=2x+k，f′（1）=2+k=3，解得k．可得f（x）=x²+x.$\frac{1}{f（n）}$=$\frac{1}{{n}^{2}+n}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．再利用裂項求和方法即可得出．

解答 解：f′（x）=2x+k，f′（1）=2+k=3，解得k=1．
∴f（x）=x²+x．
∴$\frac{1}{f（n）}$=$\frac{1}{{n}^{2}+n}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．
∴數(shù)列{$\frac{1}{f（n）}$}的前2017項和=$（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{2017}-\frac{1}{2018}）$=1-$\frac{1}{2018}$=$\frac{2017}{2018}$．
故答案為：$\frac{2017}{2018}$．

點評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究切線方程、裂項求和方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．