Question

 

設(shè)函數(shù)(為自然對數(shù)的底數(shù))，（）．

（1）證明：；

（2）當(dāng)時，比較與的大小，并說明理由；

（3）證明：（）．

 

Answer 1

【答案】

 

（本小題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式、數(shù)學(xué)歸納法、二項式定理等知識，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化、分類與討論的數(shù)學(xué)思想方法，以及運算求解能力）

（1）證明：設(shè)，

所以．…………………………………………………………1分

當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，．

即函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在處取得唯一極小值，………2分

因為，所以對任意實數(shù)均有 ．

即，

所以．……………………………………………………………3分

（2）解：當(dāng)時，．……………………………………………4分

用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：

①當(dāng)時，由（1）知．

②假設(shè)當(dāng)（）時，對任意均有，……………5分

令，，

因為對任意的正實數(shù)，，

由歸納假設(shè)知，．……………………………6分

即在上為增函數(shù)，亦即，

因為，所以．

從而對任意，有．

即對任意，有．

這就是說，當(dāng)時，對任意，也有．

由①、②知，當(dāng)時，都有．……………………8分

（3）證明1：先證對任意正整數(shù)，．

由（2）知，當(dāng)時，對任意正整數(shù)，都有．

令，得．

所以．……………………………………………………………………9分

再證對任意正整數(shù)，．

要證明上式，只需證明對任意正整數(shù)，不等式成立．

即要證明對任意正整數(shù)，不等式（*）成立．……………………………………10分

以下分別用數(shù)學(xué)歸納法和基本不等式法證明不等式（*）：

方法1（數(shù)學(xué)歸納法）：

①當(dāng)時，成立，所以不等式（*）成立．

②假設(shè)當(dāng)（）時，不等式（*）成立，

即．……………………………………………………………………11分

則．

因為，…12分

所以．………………………………………13分

這說明當(dāng)時，不等式（*）也成立．

由①、②知，對任意正整數(shù)，不等式（*）都成立．

綜上可知，對任意正整數(shù)，不等式成立．

………………14分

方法2（基本不等式法）：

因為，……………………………………………………11分

，

……，

，

將以上個不等式相乘，得．…………………………………13分

所以對任意正整數(shù)，不等式（*）都成立．

綜上可知，對任意正整數(shù)，不等式成立．

……………14分